Pythagorova věta – známe ji tisíce let. Vysvětlíme si asi na nejznámnější matematickou větu, platící v pravoúhlém trojúhelníku.
Z historie
Nejprve si povězme něco málo z historie. Pythagorova věta nese název po řeckém matematikovi Pytahogorovi ze Samu. Tento významný filozof, matematik, astronom je někdy přezdíván za otce čísel. Založil školu, která nesla jeho jméno a velmi brzy si získala věhlas v širokém okolí. Škola byla do jisté míry asketická, přijímani byli pouze vhodní žáci, ale byla otevřena i ženám.
Pythagoras (busta v kapitolském muzeu v Římě) |
Pythagorejci dospěli k mnoha významným objevům a jedním z nich je Pythagorova věta. Pro zajímavost můžeme uvést, že byla již používána dříve Číňany a Babyloňany, nicméně nese jméno po Pythagorovi, protože on (nebo někdo z jeho školy) zveřejnil první důkaz této věty.
Znění Pythagorovy věty
Pojďme si říci její znění, které si vysvětlíme a také dokážeme.
Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou libovolného pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami.
Větu můžeme také zapsat tímto zněním:
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c platí:
a2 + b2 = c2
Na obrázku vidíme interpretaci samotné věty:
Na obrázku je věta přehledně graficky znázorněna a její význam by měl být zřejmý. Pojďme si ji dokázat. Pro zajímavost, existují desítky důkazů této věty. Vybereme jeden z nich, který je srozumitelný.
Důkaz
Vyjádříme si oba obsahy jinak, tedy pomocí jednotlivých útvarů, podle kterých jsme si je rozdělili. První čtverec je tvořen dvěma čtverci, jeden o délce strany a a druhý o délce strany b.
Dále tu máme čtyři pravoúhlé trojúhelníky. Obsah každého z nich určíme jako součin délek odvěsen a podělíme 2, tedy:
(a · b / 2)
Vzhledem k tomu, že máme trojúhelníky čtyři, pak tento zlomek ponásobíme čtyřmi. Po zkrácení obdržíme 2ab. Když sečteme obsahy všech útvarů, dostaneme vyjádření:
S1 = a2 + b2 + 2ab
Nyní si vyjádříme obsah druhého čtverce. Ten je složen ze čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků a jejich obsah určíme obdobně jako u obsahu prvního čtverce. Dále je tu jeden čtverec o délce strany c. Když sečteme obsahy všech útvarů, dostaneme vyjádření:
S2 = 2ab + c2
Nyní porovnáme oba obsahy, tedy dosadíme za S1 a S2 do (1) oba vzorce, které jsme si odvodili.
S1 = S2
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2
Od obou stran rovnice odečteme člen 2ab a obdržíme rovnost, která je totožná se matematickým vyjádřením Pythagorovy věty.
a2 + b2 = c2