Text je koncipován pro žáky základních škol. Seznámíme se s pojmy rovnost, lineární rovnice a ekvivalentní úpravy rovnic. V posledních dvou příkladech je potřeba základních znalosí úprav mnohočlenů.
Lineární rovnice jsou nejjednoduššími typy rovnic, se kterými se můžeme setkat. Jako většiny oblastí
matematiky, můžeme hledat jejich počátky v praxi. Stačí si položit jednoduchou otázku: „Kolik
potřebuji kusů rohlíků, abych jich měl celkem sedm, když mám dva?“ Toto jednoduché tvrzení můžeme
přepsat do tvaru 𝑥 + 2 = 7. Ve své podstatě hledáme číslo x takové, pro které bude platit rovnost.
Jde nějakým způsobem rovnici definovat? Samozřejmě, že ano.
Co je to rovnice
Definice: Veškeré rovnice, které jsou ekvivalentní s rovnicí ve tvaru 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, kde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, se
nazývají lineární rovnice.
Poznámka: Číslo x se nazývá neznámá, čísla a, b jsou koeficienty rovnice.
Poznámka: Levou stranou rovnice (uvedené v definici) rozumíme výraz 𝑎𝑥 + 𝑏 a pravou stranou
rovnice číslo 0.
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Nyní víme, jak lineární rovnice vypadají i jakým způsobem vznikly z reálného světa. Samozřejmě
můžeme lineární rovnice používat u komplikovanějších příkladů, ale k těm se dostaneme později. Pro
motivaci nám to stačí.
Nabízí se otázka, jakými matematickými postupy můžeme lineární rovnice upravovat tak, abychom
došli k řešení. Rovnice upravujeme tzv. ekvivalentními úpravami.
Ekvivalentní úpravy
Definice: Úprava, při které se řešení rovnice nemění, se nazývá ekvivalentní.
Mezi ekvivalentní úpravy patří:
- Přičtení nebo odečtení stejného mnohočlenu k levé a pravé straně rovnice
- Násobení nebo dělení reálným číslem (kromě 0) obou stran rovnice
- Záměna levé strany rovnice za pravou stranu rovnice
Pojďme si je ukázat na jednoduchém příkladu:
Příklad č. 1: Vyřešte rovnici 𝑥 + 2 = 7.
Řešení: Postupujeme tak, abychom „osamostatnili“ neznámou x na levé straně rovnice. Abychom
toho dosáhli, pak se musíme zbavit čísla +2. Jak na to? Číslo dva odečteme od levé strany. Abychom
neporušili rovnost mezi levou a pravou stranou rovnice, pak musíme číslo dvě odečíst i od pravé.
𝑥 + 2 = 7/−2
𝑥 + 2 − 2 = 7 − 2
𝑥 = 5
Podle naší úpravy jsme dospěli k číslu 5. Můžeme nějakým způsobem ověřit výsledek našeho
počítání? Stačí, když dosadíme do základního tvaru rovnice (tedy tvaru uvedeného v zadání) naše řešení (tedy číslo, které nám vyšlo). Levá
strana rovnice se potom musí rovnat pravé.
Zkouška
Rovnice má právě jedno řešení které ještě musíme zapsat jako výsledek. K zápisu řešení se používají dva způsoby a je jen na nás, který si vybereme – oba jsou správně.
Pamatujte: Levou a pravou stranu rovnice si můžeme představit jako rovnoramenné váhy, které jsou
v rovnováze. Pokud udělám něco s levou stranou, pak musím i to samé udělat s pravou stranou! Jinak
by váhy nebyly v rovnováze.
si díky ní můžeme ověřit správnost našeho řešení.
ukázali v předešlých dvou příkladech, tedy:
jednoduše a to tak, že obě strany rovnice podělíme (použijeme opačnou operaci).
Základní úpravy umíme. Pojďme zkusit trochu náročnější příklady na výpočet.
straně pouze neznámou a na druhé straně zbytek.
