Pythagorova věta – úvod

Pythagorova věta – známe ji tisíce let. Vysvětlíme si asi na nejznámnější matematickou větu, platící v pravoúhlém trojúhelníku.

Z historie

Nejprve si povězme něco málo z historie. Pythagorova věta nese název po řeckém matematikovi Pytahogorovi ze Samu. Tento významný filozof, matematik, astronom je někdy přezdíván za otce čísel. Založil školu, která nesla jeho jméno a velmi brzy si získala věhlas v širokém okolí. Škola byla do jisté míry asketická, přijímani byli pouze vhodní žáci, ale byla otevřena i ženám.

Pythagoras (busta v kapitolském muzeu v Římě)

Pythagorejci dospěli k mnoha významným objevům a jedním z nich je Pythagorova věta. Pro zajímavost můžeme uvést, že byla již používána dříve Číňany a Babyloňany, nicméně nese jméno po Pythagorovi, protože on (nebo někdo z jeho školy) zveřejnil první důkaz této věty.

Znění Pythagorovy věty

Pojďme si říci její znění, které si vysvětlíme a také dokážeme.

Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou libovolného pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami.

Větu můžeme také zapsat tímto zněním:

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c platí:

a² + b² = c²

Na obrázku vidíme interpretaci samotné věty:

Na obrázku je věta přehledně graficky znázorněna a její význam by měl být zřejmý. Pojďme si ji dokázat. Pro zajímavost, existují desítky důkazů této věty. Vybereme jeden z nich, který je srozumitelný.

Důkaz

Vytvoříme si dva čtverce, oba budou mít délky stran (a+b) a zkusíme si určit obsahy obou čtverců. Vzhledem k tomu, že mají stejnou délku strany, pak se musí i jejich obsahy rovnat. Pokud si označíme obsah prvního čtverce jako S₁ a druhého jako S₂, pak platí:

Vyjádříme si oba obsahy jinak, tedy pomocí jednotlivých útvarů, podle kterých jsme si je rozdělili. První čtverec je tvořen dvěma čtverci, jeden o délce strany a a druhý o délce strany b. 

Dále tu máme čtyři pravoúhlé trojúhelníky. Obsah každého z nich určíme jako součin délek odvěsen a podělíme 2, tedy:

 (a · b / 2) 

Vzhledem k tomu, že máme trojúhelníky čtyři, pak tento zlomek ponásobíme čtyřmi. Po zkrácení obdržíme 2ab. Když sečteme obsahy všech útvarů, dostaneme vyjádření:

S₁ = a² + b² + 2ab

Nyní si vyjádříme obsah druhého čtverce. Ten je složen ze čtyř shodných pravoúhlých trojúhelníků a jejich obsah určíme obdobně jako u obsahu prvního čtverce. Dále je tu jeden čtverec o délce strany c. Když sečteme obsahy všech útvarů, dostaneme vyjádření:

S₂ = 2ab + c²

Nyní porovnáme oba obsahy, tedy dosadíme za S₁ a S₂ do (1) oba vzorce, které jsme si odvodili.

S₁ = S₂

a² + b² + 2ab = 2ab + c²

Od obou stran rovnice odečteme člen 2ab a obdržíme rovnost, která je totožná se matematickým vyjádřením Pythagorovy věty.

 a² + b² = c²

Příklady

Délka strany c je tedy 8,6 cm. Vzhledem k trojúhelníkové nerovnosti a faktu, že strana c je přeponou, pak musí být délka strany c největší. Tedy u těchto výpočtů se můžeme snadno zamyslet, zdali je náš výsledek (pravděpodobně) správný.

Příklad č. 2: Vypočtěte stranu k v trojúhelníku KLM s pravým úhlem u vrcholu M, když víte, že l =  4 cm a m = 5 cm.

Řešení:Pracujeme s trojúhelníkem, který má názvy bodů jiné než v definici. Musíme si tedy pohlídat, že si zapíšeme rovnici správně. Přepona (nejdelší strana) musí být v druhé mocnině na jedné straně, součet druhých mocnin odvěsen zase na straně druhé. Pro náš trojúhelník je přeponou strana m a Pythagorova věta bude vypadat takto:

  k² + l² = m²

 

Opět si dosadíme do rovnice délky stran, které známe a upravíme.

Délka strany k jsou 3 cm.

Příklad č. 3: Ověřte, zda jsou následující trojúhelníky pravoúhlé.

a) △SRT, s = 5 dm, r = 12 dm, t = 13 dm

b) △DEF, d = 5 mm, e = 9 mm, f = 8 mm

Řešení: Tuto úlohu budeme řešit také pomocí Pythagorovy věty, protože víme, že právě ona platí v pravoúhlém trojúhelníku a je vyjádřena pomocí délek všech tří stran. Dosadíme si tedy do ní délky stran ze zadání a opět si dáme pozor na to, abych ji vyjádřili správně – tedy, určíme si přeponu.

a)

Co nám to vlastně vyšlo? Že se sobě obě strany rovnice rovnají a to znamená pravdivý výrok. Vzhledem k Pythagorově větě můžeme říci, že obsah čtverce sestrojeného nad přeponou je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami a tedy trojúhelník musí být pravoúhlý. Pokud se bude levá strana rovnat pravé, pak je trojúhelník pravoúhlý.

b)

V tomto případě nám vyšel nepravdivý výrok, jelikož 89 se nerovná 81 a proto trojúhelník není pravoúhlý.