V minulém článku o geometrické posloupnosti jsme si geometrickou posloupnost definovali a sepsali si k ní důležité vztahy. V tomhle článku si společně vyřešíme konkrétní příklady.
Příklad 1: Je dáno a_{10}=frac{1}{16}, q=-2, určete a_{15}
Řešení: Použijeme vzorec vztahu mezi r-tým a s-tým členem a rovnou dopočítáme 15. člen geometrické posloupnosti:
a_{15}=a_{10}cdot q^{15-10}
a_{15}=frac{1}{16}cdot (-2)^{5}
a_{15}=frac{1}{16}cdot 32
a_{15} = -2
Příklad 2: Je dáno a_3 = 18, a_5 = 162. Určete s_8.
Řešení: Nejrpve bychom si měli napsat vzorec pro výpočet součtu prvních n členů geometrické posloupnosti.
s_n = a_1cdotfrac{q^n-1}{q-1}
Jediné, co si můžeme dosadit, tak je n = 8. Což je dost málo. Musíme si určit a_1 a také kvocient q. Nejprve si spočítejme kvocient. Použijeme vztah pro r-tý a s-tý člen, tedy:
a_5 = a_3cdot q^{5-3}
162 = 18cdot q^2
q^2 = 9
q^2 = pm 3
Jak je vidět, vyšly nám dva různé kvocienty, se kterými budeme počítat dál, tedy budeme mít dvě řešení. Pojďme si nyní určit a_1 pro oba kvocienty.
Pro q = 3
a_3 = a_1 cdot q^2
18 = a_1 cdot 3^2
a_1 = 2
Pro q = -3
a_3^{‚} = a_1^{‚} cdot q^2
18 = a_1^{‚} cdot (-3)^2
a_1^{‚} = 2
V obou případech nám vyšel člen a_1 stejný. Nyní už můžeme dosadit do vztahu pro součet.
s_8 = 2cdotfrac{3^8-1}{3-1}
s_8 = 2cdotfrac{6561-1}{2}
s_8 = 6560
První součet máme spočítaný, dosaďme ještě hodnoty pro druhý kvocient:
s_8^{‚}=2cdotfrac{(-3)^8-1}{-3-1}
s_8^{‚}=2cdotfrac{6561-1}{-4}
s_8^{‚}=-3280
Na ukázku práce s geometrickou posloupností by nám to mohlo stačit.
== Vaše Zvládnu to ==
