A na vlně posloupností pokračujeme. Tentokrát se zaměříme na aritmetickou posloupnost. Řekneme si, co aritmetická posloupnost je a spočítáme si nějaké příklady.

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, ve které je rozdíl mezi sousedními členy konstantní. Tedy po odečtení těchto dvou členů získáváme stále stejné číslo. Uveďme si jednoduchý příklad:

1, 3, 5, 7, 9,…

Ať si vezmeme libovolné dva sousední členy posloupnosti a odečteme je od sebe, pak obdržíme číslo 2.

Pojďme si posloupnost nadefinovat:

Definice: Posloupnost ( an) se nazývá aritmetická právě tehdy, když:

exists din mathbb{R}, forall nin mathbb{N}, a_{n+1}=a_{n}+d

Číslo d nazýváme diferencí (z lat. differentia) aritmetické posloupnosti.

K aritmetické posloupnosti se váže několik vzorců, které je vhodné si zapamatovat a následně užívat. Samozřejmě, že se vzorce dají celkem jednoduše odvodit. Podíváme se na první z nich

forall ninmathbb{N}: a_n = a_1 + (n-1)d (1)

Jak se na tenhle vzorec přijde? Podívejme se na jednoduchou úvahu a naznačme si, jak na něj přijít:

Pojďme si vyjádřit druhý člen aritmetické posloupnosti, který bude vypadat:

a_2 = a_1 + d

Což nám vyplývá z definice. Abych přišel na další člen, musím k prvnímu členu přičíst diferenci. Jak bych přišel na třetí člen?

a_3 = a_2 + d

Dosaďme si místo a_2 vzorec ze začátku úvahy:

a_3 = a_1 + 2d

Analogicky bychom mohli zkoušet zapsat čtvrtý, pátý, šestý člen, ale vždycky obdržíme, že ke členu a_1 přičítáme o jedna méně diferencí než k n-tému členu posloupnosti.

Dalším užitečným vzorečkem je:

forall r,sinmathbb{N}: a_r = a_s + (r-s)d (2)

Tento vzorec je vlastně jen zobecněním vzorce (1). Jako cvičení pro čtenáře necháváme si dosadit s = 1.

Poslední užitečný vzorec je součet určitého počtu n členů. S ním se pojí zajímavá historka s významným matematikem C. F. Gaussem.

Učitel v Gaussově třídě chtěl mít hodinu a proto uložil žákům, aby sečetli všechna čísla od 1 do 100. Předpokládál, že to žákům zabere hodně času a on si odpočine. Několik okamžiků na to, co učitel zadal úlohu, vyskočil mladý Gauss a hrdě odevzdváala úkol. Jak to tak rychle dokázal? Uvědomil si, že když bude sčítat čísla od konců, dojde vždy ke stejnému výsledku, tedy:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

…

Celkem těchto součtů bude 50, takže stačí vynásobit čísla mezi sebou a dostáváme součet 5050.

Vzorcem vyjádříme součet určitého počtu n členů aritmetické posloupnosti jako:

s_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) (3)

Co je aritmetická posloupnost máme za sebou a v příštím díle se podíváme na ukázkové příklady.