Geometrická posloupnost - úvod

Aritmetickou posloupnost jsme si na blogu probrali a to včetně řešených příkladů. Zbývá se nám podívat na zoubek geometrické posloupnosti. 

Geometrická posloupnost

To je taková posloupnost, kde podíl dvou sousedních členů je konstantní (=dostáváme stejný výsledek). Toto číslo označujeme kvocientem geometrické posloupnosti. Narozdíl od aritmetické posloupnosti, kde jsme neustále přičítali nějaké číslo d (diferenci), tak zde násobíme nějakým číslem q. Pojďme si vyjádřit tento vztah matematicky:

a_{n+1} = a_n\cdot q (1)

Jak bychom určili n-tý člen geometrické posloupnosti? Ukažme si jednoduchou úvahou, jak takový vztah vypadá. Dosaďme si nyní konkrétní hodnoty např. druhý člen geometrické posloupnosti, tedy:

a_2 = a_1\cdot q (2)

Nyní to zkusíme se třetím členem, abychom viděli ten rozdíl:

a_3 = a_2\cdot q

Místo a_2 si dosaďme vzoreček (2), který jsme si sepsali:

a_3 = a_1\cdot q\cdot q

A upravme:

a_3 = a_1\cdot q^2

Už jen vypíšeme čtvrtý člen, na který bychom přišli analogicky jako na třetí, tedy:

a_4 = a_1\cdot q^3

Z uvedených několika vzorců vidíme, že stačí ponásobit první člen geometrické posloupnosti a kvocientem umocněným na n-1, abychom získali n-tý člen. Matematicky zapsáno:

a_n = a_1\cdot q^{n-1}

Stejně tak můžeme určit r-tý člen pomocí s-tého členu. Tento vztah nebudeme nijak odvozovat, jen se s ním seznámíme. Obdobně jako u aritmetické posloupnosti, je tento vzoreček zobecněným vzorcem pro určení n-tého členu.

a_r = a_s\cdot q^{r-s} (3)

Poslední věc, kterou budeme s geometrickou posloupností dělat, je součet jejích prvních n-členů. Vztah tady má hezké odvození, ale opět si vystačíme s jeho zapsáním.

s_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} (4)

To by nám k teorii stačilo. V dalším článku se podíváme na nějaké příklady, které si společně vyřešíme.

== Vaše Zvládnu to ==




Komentáře