Geometrická posloupnost - procvičujeme

 V minulém článku o geometrické posloupnosti jsme si geometrickou posloupnost definovali a sepsali si k ní důležité vztahy. V tomhle článku si společně vyřešíme konkrétní příklady.

Příklad 1: Je dáno a_{10}=\frac{1}{16}, q=-2, určete a_{15}

Řešení: Použijeme vzorec vztahu mezi r-tým a s-tým členem a rovnou dopočítáme 15. člen geometrické posloupnosti:

a_{15}=a_{10}\cdot q^{15-10}

a_{15}=\frac{1}{16}\cdot (-2)^{5}

a_{15}=\frac{1}{16}\cdot 32

a_{15} = -2

Příklad 2: Je dáno a_3 = 18, a_5 = 162. Určete s_8.

Řešení: Nejrpve bychom si měli napsat vzorec pro výpočet součtu prvních n členů geometrické posloupnosti.

s_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}

Jediné, co si můžeme dosadit, tak je n = 8. Což je dost málo. Musíme si určit a_1 a také kvocient q. Nejprve si spočítejme kvocient. Použijeme vztah pro r-tý a s-tý člen, tedy:

a_5 = a_3\cdot q^{5-3}

162 = 18\cdot q^2

q^2 = 9

q^2 = \pm 3

Jak je vidět, vyšly nám dva různé kvocienty, se kterými budeme počítat dál, tedy budeme mít dvě řešení. Pojďme si nyní určit a_1 pro oba kvocienty.

Pro q = 3

a_3 = a_1 \cdot q^2

18 = a_1 \cdot 3^2

a_1 = 2

Pro q = -3

a_3^{'} = a_1^{'} \cdot q^2

18 = a_1^{'} \cdot (-3)^2

a_1^{'} = 2

V obou případech nám vyšel člen a_1 stejný. Nyní už můžeme dosadit do vztahu pro součet.

s_8 = 2\cdot\frac{3^8-1}{3-1}

s_8 = 2\cdot\frac{6561-1}{2}

s_8 = 6560

První součet máme spočítaný, dosaďme ještě hodnoty pro druhý kvocient:

s_8^{'}=2\cdot\frac{(-3)^8-1}{-3-1}

s_8^{'}=2\cdot\frac{6561-1}{-4}

s_8^{'}=-3280

Na ukázku práce s geometrickou posloupností by nám to mohlo stačit. 

== Vaše Zvládnu to ==

Komentáře