Kužel - úvod a slovní úlohy

 Další článek z prostředí matematiky. Dnes se seznámíme s kuželem - vysvětlíme si, co kužel je, jak spočítáme jeho objem a obsah a na závěr si spočítáme pár úloh.



Kužel

Pro jednoduchost si kužel nadefinujeme jako rotační kužel. Představme si, že si vezmeme pravoúhlý trojúhelník, který budeme v prostoru otáčet podle jedné z jeho odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel závisí na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označme si r jako poloměr kruhové podstavy a h jako výšku kužele (vzdálenost vrcholu kužele od základny). 

1) poloměr pláště



2) objem kužele


3) povrch kužele




Základní pojmy máme nadefinované, pojďme se pustit do počítání :-)

Příklady

Zadání: Vypočtěte objem a povrch rotačního kužele, když víte, že r = 10 cm a h = 7 cm.

Řešení: Nejprve si spočítáme objem, který je na výpočet jednoduchý. Stačí nám dosadit patřičné hodnoty do vzorečku a zadat do kalkulačky.

Pokud bychom chtěli jen dosadit do vzorečku u povrchu, pak narazíme na problém. Neznáme malé i. U povrchu si ještě potřebujeme zjistit s. Pro výpočet použijeme vzoreček pro poloměr pláště.

V tuto chvíli jsme připraveni dosadit do vzorečku pro výpočet obsahu. 



Úlohu máme vyřešenou. Na úvod jsme si ukázali jak vyřešit výpočet objemu a obsahu při znalosti výšky kužele a poloměru podstavy. 

Zadání: Jirka si na oslavu narozenin vyrobil z papíru čepici ve tvaru kuželu. Strana tohoto kuželu má délku 35cm a poloměr jeho podstavy je 20cm. Kolik dm čtverečních papíru spotřeboval Jirka na jeho výrobu?

Řešení: Obdobná úloha byla použita ve státní maturitě a mnoho žáků na ní pohořelo. V čem je tato úloha tak záludná? Většina z nich dosadila do vzorečku pro výpočet povrchu kužele. Zde si musíme akorát uvědomit, že nepočítáme s podstavou, protože pokud vyrábíme čepici ve tvaru kužele a chceme si ji dát na hlavu, pak nemá smysl "lepit" kruhovou podstavu k plášti. 

Pro výpočet použijeme pouze vzoreček pro výpočet obsahu pláště, tedy:

V zadání je "Kolik dm čtverečních...", takže musíme ještě převést na dm čtvereční.
Úlohu máme vypočítanou se vším všudy. Nesmíme zapomenout na slovní odpověď:

Jirka na výrobu čepice potřeboval 21,99 dm čtverečních papíru.


Zadání: Do Jirkovy nádoby ve tvaru kuželu a poloměrem podstavy 6 cm se vejde 376,8 ml limonády, do Ondrovy nádoby ve tvaru kuželu a poloměrem podstavy 9 cm se vejde 932,58 ml limonády. Která sklenička je vyšší a o kolik?

Řešení: Nabízí se otázka, kterou veličinu použít pro správné řešení úlohy. Kdybychom chtěli počítat s povrchem, tak asi moc nepochodíme. Známe totiž pouze poloměr podstavy a pak, kolik se "vejde" ml limonády do dané nádoby. Použijeme tedy objem. Spočítejme si nejprve výšku Jirkovy nádoby. Ze vzorečku pro výpočet objemu kužele si vyjádříme výšku kužele a dopočítáme ji.

Vzhledem k tomu, že máme vyjádřenou výšku, pak nám v případě výpočtu výšky Ondrovy nádoby stačí si dosadit do vzorečku na třetím řádku našich úprav.
Máme vypočítané obě výšky a jednoduchým porovnáním vidíme, že Ondrova sklenička je o 1 cm vyšší.

Ondrova sklenička je o 1 cm vyšší než sklenička Jirky.





Komentáře