Lineární rovnice - úvod

Text je koncipován pro žáky základních škol. Seznámíme se s pojmy rovnost, lineární rovnice a ekvivalentní úpravy rovnic. V posledních dvou příkladech je potřeba základních znalosí úprav mnohočlenů.

Lineární rovnice jsou nejjednoduššími typy rovnic, se kterými se můžeme setkat. Jako většiny oblastí matematiky, můžeme hledat jejich počátky v praxi. Stačí si položit jednoduchou otázku: „Kolik potřebuji kusů rohlíků, abych jich měl celkem sedm, když mám dva?“ Toto jednoduché tvrzení můžeme přepsat do tvaru 𝑥 + 2 = 7. Ve své podstatě hledáme číslo x takové, pro které bude platit rovnost.

Jde nějakým způsobem rovnici definovat? Samozřejmě, že ano. 

Co je to rovnice

Definice: Veškeré rovnice, které jsou ekvivalentní s rovnicí ve tvaru 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, kde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, se nazývají lineární rovnice. 

Poznámka: Číslo x se nazývá neznámá, čísla a, b jsou koeficienty rovnice.

Poznámka: Levou stranou rovnice (uvedené v definici) rozumíme výraz 𝑎𝑥 + 𝑏 a pravou stranou rovnice číslo 0. 

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 

Nyní víme, jak lineární rovnice vypadají i jakým způsobem vznikly z reálného světa. Samozřejmě můžeme lineární rovnice používat u komplikovanějších příkladů, ale k těm se dostaneme později. Pro motivaci nám to stačí. Nabízí se otázka, jakými matematickými postupy můžeme lineární rovnice upravovat tak, abychom došli k řešení. Rovnice upravujeme tzv. ekvivalentními úpravami.

Ekvivalentní úpravy

Definice: Úprava, při které se řešení rovnice nemění, se nazývá ekvivalentní. 

Mezi ekvivalentní úpravy patří: 

  • Přičtení nebo odečtení stejného mnohočlenu k levé a pravé straně rovnice
  • Násobení nebo dělení reálným číslem (kromě 0) obou stran rovnice
  • Záměna levé strany rovnice za pravou stranu rovnice 

Pojďme si je ukázat na jednoduchém příkladu:

Příklad č. 1: Vyřešte rovnici 𝑥 + 2 = 7. 

Řešení: Postupujeme tak, abychom „osamostatnili“ neznámou x na levé straně rovnice. Abychom toho dosáhli, pak se musíme zbavit čísla +2. Jak na to? Číslo dva odečteme od levé strany. Abychom neporušili rovnost mezi levou a pravou stranou rovnice, pak musíme číslo dvě odečíst i od pravé.

𝑥 + 2 = 7/−2 

𝑥 + 2 − 2 = 7 − 2 

𝑥 = 5

Podle naší úpravy jsme dospěli k číslu 5. Můžeme nějakým způsobem ověřit výsledek našeho počítání? Stačí, když dosadíme do základního tvaru rovnice (tedy tvaru uvedeného v zadání) naše řešení (tedy číslo, které nám vyšlo). Levá strana rovnice se potom musí rovnat pravé.

Zkouška

L = 5 + 2 = 7 (místo x si napíšeme naše řešení, tedy číslo 5)

P = 7

L = P

Rovnice má právě jedno řešení které ještě musíme zapsat jako výsledek. K zápisu řešení se používají dva způsoby a je jen na nás, který si vybereme - oba jsou správně.

Pamatujte: Levou a pravou stranu rovnice si můžeme představit jako rovnoramenné váhy, které jsou v rovnováze. Pokud udělám něco s levou stranou, pak musím i to samé udělat s pravou stranou! Jinak by váhy nebyly v rovnováze.

Příklad č. 2: Nalezněte řešení pro rovnici 𝑥 − 3 = 4.
 
Řešení: 
𝑥 − 3 = 4/+3 
𝑥 − 3 + 3 = 4 + 3 
𝑥 = 7 
Zkouška: 

L = 7 − 3 = 4 
P = 4 
L = P 
x ∈ {7}

Musíme provádět zkoušku vždy? Nemusíme! Zkouška u ekvivalentních úprav není povinná, nicméně si díky ní můžeme ověřit správnost našeho řešení.

Příklad č. 3: Řešte rovnici 3𝑥 + 3 = 8 

Řešení: U řešení tohoto typu rovnice se opět zbavíme čísla +3, které je na levé straně tak, jak jsme si ukázali v předešlých dvou příkladech, tedy: 
Jak se zbavíme trojky na levé straně? Mezi trojkou a číslem x je krát, tedy násobení. Zbavíme se ho jednoduše a to tak, že obě strany rovnice podělíme (použijeme opačnou operaci). 


Ověření zkoušky přenecháváme čtenáři v rámci procvičení. Základní úpravy umíme. Pojďme zkusit trochu náročnější příklady na výpočet.

Příklad č. 4: Řešte rovnici 𝑥 + 2𝑥 − 3 = 3𝑥 − 4𝑥 + 8 

Řešení: Na levé a pravé straně zjednodušíme výrazy.

Neznámou x máme na obou stranách rovnice. Abychom rovnici vyřešili, musíme získat na jedné straně pouze neznámou a na druhé straně zbytek. 

Příklad č. 5: Řešte rovnici 2 ⋅ (𝑥 + 1) = 4 ⋅ (2𝑥 − 1) 

Řešení: Na levé i pravé straně nejprve roznásobíme závorky
Opět se budeme snažit na jedné straně získat neznámou a na druhé straně zbylé členy.
Hledáte složitější rovnice? Využijte našeho YouTube kanálu, ve kterém vysvětlujeme více typů rovnic. Přikládáme odkaz na playlist Rovnice a nerovnice a jejich soustavy.








 

Komentáře

Populární příspěvky z tohoto blogu

Jak to bude s přijímacími zkouškami na SŠ pro rok 2021/2022

Maturita z českého jazyka a literatury - jak to bude letos?

MS Excel - relativní a absolutní adresování buněk