Lineární nerovnice – úvod

V tomto textu se dozvíte, co to je lineární nerovnice, jakým způsobem se řeší a co je jejím výsledkem. V textu jsou uvedeny definice, názorné příklady i s početním řešením a příklady, ke kterým je možné nalézt výsledky na poslední stránce tohoto dokumentu.

Ilustrační obrázek

Co je lineární nerovnice?

Definice 1: Lineární nerovnicí rozumíme nerovnost ve tvaru:

ax + b<0,

kde čísla a, b jsou reálná a znaménka nerovnosti mohou být ve tvaru <,>,leq,geq . 

Na první pohled se zdá, že jediné v čem se lineární nerovnice liší od lineárních rovnic je ve znaménku nerovnosti. Tato znaménka nám ovšem říkají něco jiného než znaménko rovná se. Hledáme všechna x taková, pro která platí, že jsou větší než –b/a (za předpokladu, že  a > 0 , opačný případ probereme později). Předpokládejme (a pokud nebude řečeno jinak), že řešíme nerovnice pouze na množině reálných čísel. Pak takových x může být nekonečně mnoho. Výsledkem je tedy interval, nikolivěk jedno konkrétní číslo (opomeňme nyní ty lineární rovnice, u kterých je řešením celá množina mathbb{R} nebo emptyset ). 

Příklad 1: Řešte v mathbb{R}

2x-1>0

Úpravy u lineárních nerovnic jsou identické jako úpravy u rovnic lineárních až na jednu výjimku, která bude uvedena později. Vyřešeme rovnici uvedenou v příkladu 1.

Řešení:

2x-1>0 /+1

2x>1 /colon 2

x>frac{1}{2}

Co nám říká tento výsledek? Když dosadíme jakékoliv číslo větší než   frac{1}{2}
, pak daná nerovnost bude platit. Výsledkem je tedy interval left(frac{1}{2},inftyright) . 

Pojďme se nyní podívat na jedinou úpravu, která je odlišná od úprav lineárních rovnic. Zkusme vyřešit následující příklad.

Příklad 2: Vyřešte nerovnici na množině mathbb{R} :    -2x-1>0

-2x-1>0 / +1

  -2x>1 /colon (-2)

x>-frac{1}{2}

Výsledné řešení nám říká, že pokud dosadíme libovolné číslo větší než -frac{1}{2} , pak bude nerovnost platit. Opravdu to bude platit? Zkusme zkoušku pro číslo 0.

Zkouška: -2cdot0 -1 > 0 Longrightarrow -1>0

Předešlé tvrzení je nepravdivé. Je výsledné řešení chybné? Ano, protože u lineárních nerovnic navíc platí:

Věta 1: Pokud lineární nerovnici násobíme nebo dělíme záporným číslem, pak obracíme znaménko nerovnosti.

Proč tomu tak je? Co kdybychom nerovnici z předešlého příkladu upravovali trochu jinak:

Toto řešení je ekvivalentní tvrzení ve větě 1 a je důležité ho mít na paměti!

Nyní znáte vše potřebné k řešení lineárních nerovnic na množině reálných čísel. 

Procvičování

Vyřešte:

1. 7x-5>x+4
2. 3(x-2)+5(x+3)geq 2x+1

3. (x-2)^2-3x leq x(x+3)

4. dfrac{4x-3}{2}+dfrac{5x}{4} < dfrac{14x-7}{8}

5. left(dfrac{5x+2}{3}-2right)cdotdfrac{1}{2}<dfrac{x}{3}

Zvláštní případy řešení lineárních nerovnic

Podívejme se na takové lineární nerovnice, u nichž je řešení uv{jiné}. 

Příklad 3: Vyřešte na množině mathbb{R}

-x-10>frac{2x+10}{-2}

Řešení: 

Co nám vlastně výsledek říká? Jedná se ve své podstatě o výrok. Jak víme, u výroku můžeme rozhodnout, zda je pravdivý či nepravdivý. V našem případě je samozřejmě nepravdivý. Z toho vyplývá, že daná nerovnice nemá řešení, tedy K=emptyset . Jinými slovy: ať dosadíme jakékoliv reálné číslo, pak daná nerovnost nebude platit.

Modifikujme trochu rovnici a zkusme ji vyřešit znovu.

Příklad 4: Vyřešte na množině mathbb{R}

-x-10leqfrac{2x+10}{-2}

Řešení: 

Předešlý výrok je již pravdivý. Daná nerovnost nám vlastně říká, že můžeme dosadit livobolné reálné číslo a tato nerovnost bude vždy platit. Její řešení tedy zapíšeme: K=mathbb{R}

Procvičování II

Vyřešte na množině mathbb{R} :

1. dfrac{x-4}{2}<frac{7x}{2}-(3x+2)

2. 12x-1geq3(4x-3)

3. dfrac{2x-1}{3}-dfrac{x+3}{2}leq3-dfrac{x-2}{3}

Řešení na jiných množinách čísel

Na závěr se podívejme, jak bude vypadat řešení na jiné množině čísel než na reálném oboru čísel. Zkusme následující nerovnici vyřešit na množině přirozených čísel.

Příklad 5: Vyřešte na množině mathbb{N} :

frac{1+3x}{2}<frac{9}{2}+frac{1-2x}{4} /cdot 4

Kdybychom řešili na množině reálných čísel, výsledkem by byl interval (-infty,frac{17}{8}) . Nyní ale řešíme nerovnici na množině přirozených čísel. Vybereme pouze ta přirozená čísla, která vyhovují nerovnosti. V tomto případě vyhovují pouze dvě přirozená číslo a to 1 a 2. Výsledek zapíšeme jako: K={1,2} .

Procvičování III

Vyřešte na množině mathbb{N}:

1. dfrac{4x-3}{5}-dfrac{3x-4}{2}+dfrac{2x-5}{3}<0

2. 5(x-1)-x(7-x)geq x^2

3. 5(x-1)+7leq1-3(x+2)

4. frac{3x-1}{-4}<8-frac{x+3}{-6}

5. 11(2x-15)<x+3

6. x(x-4)-x^2>12-6x